TÌM HIỂU VỀ TOÁN HỌC - PHẦN 1

[Michael Dương]

TÌM HIỂU VỀ TOÁN HỌC – PHẦN 1

ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về cácsố, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ bản và đối lập lẫn nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học.

Không nghi ngờ gì nữa, sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái đà nội tại vượt ra ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon đã tập hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong lĩnh vực toán học và thiên văn học. Toán học đã nhanh chóng trở thành đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán đo các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy diễn trong toán học, bắt đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.

Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn.

Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.

Sau một tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương lai gần đây.

(Xem tiếp Phần ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC ở Phần Sau)
HẾT PHẦN 1. Mời các bạn đón xem tiếp PHẦN 2.

Người thực hiện: Dương Thế Hưng
Lớp 12A1 – Trường THPT Lưu Văn Liệt – TP.Vĩnh Long