TÌM HIỂU VỀ TOÁN HỌC - PHẦN 2

[Michael Dương]

TÌM HIỂU VỀ TOÁN HỌC – PHẦN 2
(Tiếp theo Phần ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC)

Ở đây ta không có điều kiện phân tích về mặt triết học và tâm lý học một cách tỉ mỉ. Chỉ muốn nhấn mạnh vào một số thời điểm. Theo tôi, viêc nhấn mạnh quả đáng tính chất tiên đề – suy diễn của toán học là nguy hiểm. Tất nhiên cái khởi đầu của sự sáng tạo có tính chất kiến thiết. Khó ai có thể chứa chất trong các diễn đạt triết học cái khởi đầu trực giác – là nguồn gốc của các tư tưởng của chúng ta và những luận cứ của chúng ta; tuy nhiên cái khởi đầu đó lại là bản chất thực sự của mọi phát minh toán học, kể cả khi nó thuộc vào những lĩnh vực trừu tượng nhất. Nếu một hình thức suy diễn rành mạch là mục đích thì động lực của toán học phải là trực giác và kiến thiết. Trong giả thiết cho rằng, toán học là hệ thống các hiệu quả rút ra từ các định nghĩa và tiên đề chỉ cần tương thích với nhau, bộ phận còn lại là sản phẩm của sự tưởng tượng tự do của nhà toán học, chứa trong nó mối đe dọa nghiêm trọng đối với bản thân sự tồn tại của khoa học. Nếu thực sự như vậy thì toán học sẽ làm một việc không xứng đáng của con người biết suy nghĩ. Nó chỉ là một trò chơi với các định nghĩa, quy tắc và phép tam đoạn luật mà không có nguyên nhân, không có mục đích. Biểu tượng theo đó trí tuệ con người có thể sáng tạo ra những hệ tiên đề đã mất mọi ý nghĩa, sẽ là một sự lừa dối. Chỉ có thể thu được những kết quả có giá trị khoa học nếu thấy rõ trách nặng nề trước thiên nhiên và tuân theo một nhu cầu nội tại nào đó.

Tuy xu hướng giải tích lôgic suy tưởng chưa phải là toàn bộ toán học nhưng nó cũng giúp chúng ta nhận thức sâu sắc hơn những sự kiện toán học và những sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng và giúp ta nắm vững hơn bản chất các khái niệm toán học. Chính từ xu hướng đó đã nảy sinh ra một quan điểm hiện đại đối với toán học xem như mẫu mực của một phương pháp khoa học được áp dụng vạn năng.

Dù ta dừng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện đại.

Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị rứt khoát loại bỏ.

Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng hơn. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v... như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v...

Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học.

May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì?

HẾT

HẾT PHẦN 2. Mời các bạn đón xem tiếp PHẦN 3.

Người thực hiện: Dương Thế Hưng
Lớp 12A1 – Trường THPT Lưu Văn Liệt – TP.Vĩnh Long